Осциллографом посмотреть, что делается на стоке транзистора. Подключить что-нибудь газоразрядное к обмотке трансформатора до умножителя и посмотреть, светится или нет.
На схеме с умножителем какая-то дичь.
Схема БП - плохая: нет обратной связи по току, плохое управление полевиком (наверняка полевик сильно греется). Почти любая другая схема была бы лучше.